de 26
Vista actual
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
49
4.
FUNCION LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA
El concepto de
función
es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para
e
x
pr
e
sar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.
En esta unidad comenzaremos por preparar el camino para las
siguientes al analizar aspectos
básicos de las funciones tales como: identificar cuándo una relación entre dos conjuntos es una
función, visualizar una función a través de distintos métodos, obtener información de esa
represe
n
tación y reconocer ciertos
c
onjuntos asociados a las funciones tales como el dominio y la
imagen.
Haremos hincapié en que una función puede representarse de diferentes modos: mediante
una ecu
a
ción, con una gráfica, o con palabras.
Más adelante nos introduciremos en las funciones lin
eales, cuyas representaciones gráficas
son las más simples: las rectas. Como caso particular observaremos las características propias de la
fu
n
ción de proporcionalidad.
Finalmente, veremos cómo resolver problemas usando sistemas de dos ecuaciones lineales,
tr
a
tando de no perder de vista el significado geométrico del problema.
4.1.
Función
La construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual.
No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráf
ico.
Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información
si
m
ple de leer.
En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la
s
e
ñaliz
a
ción a lo largo de la vía férrea.
En el eje vertical s
e han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones
ferrovi
a
rias.
En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas.
Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la
mi
s
ma, en función del tiempo
. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y
algunos no p
a
ran en ciertas estaciones.
Curso de Apoyo en Matemática
Página
52
Gráfico 2
El Gráfico 2 corresponde a una función puesto qu
e todos los
el
e
mentos de
A
tienen una única imagen en
B
.
En este caso podemos observar que
Dom
f
= [ 1 , 5 ] e Im
f
= [ 0 , 4 ]
Gráfico 3
El Gráfico 3
no
representa una función pues hay elementos del
conjunto
A
q
ue no tienen imagen.
Por ejemplo, el punto (3,1) se ha marcado con un pequeño
r
culo vacío para indicar que
f
(3)
 1. Por otro lado, los
eleme
n
tos que pertenecen al intervalo (4,5] no poseen imagen.
Mayor dominio de
Mayor dominio de
defin
defin
i
i
ción
ción
Cuando la función
viene dada por una fórmula del tipo
y
=
f
(
x
)
, el
mayor dominio de definición
es el conjunto de los
val
o
res de
x
para los cuales se puede calcular
f
(
x
).
Para pensar...
Observemos que...
claramente es posible calcular 2
x
para cualquier
número real
x
.
Luego, Dom
f
= R
a)
Si
f
(
x
)
=
2
x
,
¿para qué valores de
x
es posible calcular 2
x
?.
Observemos que...
como la división por 0 no está
def
i
nida debe ser
x
-
1
0 ,
o sea
x
1.
Luego, Dom
f =
R
-
{1}
b)
Si
1
2
)
(
=
x
x
f
,
¿es siempre posible calcular este cociente?.
y
4
2
3
2
1
3
5
1
4
5
x
4
2
3
2
1
3
5
1
4
5
y
x
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
53
Ayuda
Recuerda cuándo es posible calcular
la raíz cuadrada de un número real.
c)
Si
2
)
(
+
=
x
x
f
,
Dom
f =
[
-
2 , +
).
¿Por qué?
A
CTIVIDADES DE
A
PRENDIZAJE
1)
a)
Indicar si los siguientes gráf
icos corresponden a funciones. Justificar.
b)
Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a función.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
2)
Dados
los siguientes gráficos
correspondientes
a funciones, determinar los conjuntos dom
i
nio e
imagen
de cada una de ellas:
i)
ii)
iii)
Curso de Apoyo en Matemática
Página
58
Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada aumenta 2
un
i
dades.
1
1
=
2
2
=
3
3
= 1 =
m
Observemos que...
los cocientes entre la
variación
de la ord
e
nada y la
variación
de la abscisa son constantes e iguales al valor de la pendiente.
b)
y
=
-
3
x
+2
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada disminuye 3
unid
a
des.
Si la abscisa aumenta 2 unidades, la ordenada disminuye
6 unidades.
m
=
=
=
=
3
3
9
2
6
1
3
L
Nuevamente
observamos que los cocientes entre la
variación
de la or
denada y la
variación
de la abscisa son constantes e
iguales al valor de la pendiente.
1 2 3 4
-
1
-
2
-
3
-
4
x
y
1 2 3 4
-
1
-
2
-
3
-
4
x
y
2
1
y
2
1
-
1
-
2
-
3
-
4
1 2 3 4
x
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
59
c)
y
= 2
Cuando la abscisa aumenta 1 unidad, la ordenada no aumenta
ni disminuye.
Lo mismo ocurre cuando la abscisa aumenta 2, 3, o más
unid
a
des.
3
0
2
0
1
0
=
=
= 0 =
m
En este ejemplo resulta que los cocientes entre la
variación
de
la ordenada y la
variación
de la abscisa son constantes e
igu
a
les a 0, el valor de la pendiente
m
.
Atención
Habrás observado que
la inclinación
de cada recta está
directamente relacionada con el
signo de su pendiente.
En el siguiente cuadro se clasifican las funciones lineales
s
e
gún el valor de la pendiente:
Resumiendo
̧
La
pendiente
está determinada por el cociente entre
la
variación
de
y
y la
variación
de
x.
La función tangente, utilizada en la
expresión:
m
=
tg
α
,
se estudiará
junto con las demás funciones
trig
o
nométr
i
cas, con más detalle en
una próxima unidad.
̧
La
pendiente
m
mide la inclinación de la rect
a
respe
c
to del eje
x
. Podemos hallar entonces, a partir de la
pendiente, el ángulo
α
que forma dicha recta con el eje
x
teniendo en cue
n
ta que:
m
= tg
α
.
1 2 3
-
3
-
2
-
1 0
-
1
x
y
1
2
3
y = m x + b
m <
0
Función decreciente
m =
0
Función constante
m >
0
Función creciente
y
x
x
y
y
x
Curso de Apoyo en Matemática
Página
60
Recordemos que...
el ángulo de
inclinación
α
, se mide en se
n
tido contrario a las agujas del r
eloj,
a partir de la dirección p
o
sitiva del eje
x
.
Retomando los ejemplos anteriores:
y
=
x
4
a)
y
=
x
-
4
En este ejemplo
m
=
1
1
= tg
α
Entonces
α
= 45º
y
=
-
3
x
+ 2
b)
y
=
-
3
x
+ 2
m
=
1
3
-
= tg
α
entonces
α
= 108º 26’ 5,82’’
c)
y
= 2
m
=
2
0
= tg
α
entonces
α
= 0º
y
1 2 3 4
-
1
-
2
-
3
-
4
x
α
α
α
2 3 4
1
2
3
4
x
y
2
1
α
α
1 2 3
-
3
-
2
-
1 0
-
1
x
y
1
2
3
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
61
4.2.3.
Función de proporcionalidad
Recordemos que...
en la ecuación
y
=
m x
+
b
a la constante
b
se la
den
o
mina
ordenada al origen.
La
ordenada al origen
es el punto de intersección entre la recta
y el eje
y,
es decir, es el valor de la ordenada para
x
= 0, o sea
la imagen de cero.
Función de
Función de
proporcional
proporcional
i
i
dad
dad
directa
directa
Si la ordenada al orige
n es 0, resulta
y
=
mx.
Este caso particular se llama
función de proporcionalidad
dir
e
cta
y su gráfica es una recta que pasa por el origen.
Observemos en la función
y
= 2
x
la relación entre los
val
o
res de la variable
x
y los valores que se ob
tiene de la
variable
y
.
Es decir, si se calcula...
el doble de 1,
su imagen resulta el
d
o
ble de 2.
el triple de 1, su imagen resulta el
triple de 2.
la mitad de 1, su imagen resulta la
mitad de 2.
.....
m
...
x
y
=
=
=
=
=
=
2
2
1
1
2
4
1
2
E
n este caso los cocientes entre la
variación
de la ordenada y la
variación
de la abscisa nos dan nuevamente el valor de la
pe
n
die
n
te.
La pendiente de la función de proporcionalidad se
denom
i
na
constante de proporcionalidad.
x
1
2
3
y
2
4
6
×
×
2
×
×
3
: 2
×
×
2
́
́
3
: 2
Curso de Apoyo en Matemática
Página
62
4.2.4.
Ecuación de la rect
a
Veamos qué formas puede tomar la ecuación de una recta.
Ecuación de la
Ecuación de la
recta
recta
Para
m , n
R
constantes, podemos interpretar una
fu
n
ción l
i
neal
y
=
mx
+
n
como una ecuación lineal con dos incógnitas
x
e
y
que
d
e
nomin
a
remos
ecuación de la recta
.
Forma explícita
Forma explícita
de la ecuación
de la ecuación
de la r
de la r
e
e
cta
cta
A la expresión
y
=
mx
+
n ,
donde
m, n
R
son constantes, la denominamos
forma
expl
í
cita
de la ecuación de la recta.
Ejemplo:
3
8
3
2
+
=
x
y
Forma implícita
Forma implícita
de la ecuación
de la ecuación
de la
de la
r
r
e
e
cta
cta
Diremos que para
a , b , c
R
constantes,
a x
+
b y
+
c
= 0
es la
forma implícita
de la ecuación de la recta.
Ejemplo:
La misma recta del ejemplo anterior se puede escribir como
2
x
-
3
y
+ 8 = 0.
x
= 2
es la ecuación de l
a recta vertical
cuyo gráfico es:
Observemos que...
si
b
= 0 y
a
0,
la ecuación implícita de la recta se reduce a
a x
+
c
= 0,
que representa a la recta paralela al eje
y ,
x
=
-
a
c
la cual, como vimos anteriormente
no
representa
una función
y
=
f
(
x
) .
x
1
3
y
2
x
= 2
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
63
Si tenemos como datos dos puntos
(
x
0
,
y
0
),
(
x
1
,
y
1
)
pertenecie
n
tes a una recta, podemos construir la ecuación de la
misma.
Observemos que...
su pendiente es
m
=
0
0
x
x
y
y
=
0
1
0
1
x
x
y
y
.
Ecuación de la
Ecuación de la
recta que pasa
recta que pasa
por
por
dos puntos
dos puntos
Así,
0
0
0
1
0
1
x
x
y
y
x
x
y
y
=
es la
ecuación de la recta que pasa por los dos puntos
(
x
0
,
y
0
), (
x
1
,
y
1
)
A
CTIVIDADES DE
A
PRENDIZAJE
10)
Dadas las siguientes expresiones,
señalar
con
una cruz las ecuaciones asociadas a una función
l
i
neal de una variable:
a)
®
10
x
+ 8
y
-
30 = 0
b)
®
2
x
+ 3
y
-
z
=
x
+
y
c)
®
4 (
h
+ 3)
-
5
t
+ 8 (
t
-
h
) = 4
d)
®
x
2
+
y
2
= 4
e)
®
2
t
2
-
5
t
= 0
f)
®
y
x
1
-
1
= 1
11)
R
epresentar
gráficamente
las siguientes ecuaciones lineales:
a)
y
=
-
4
x
+ 1
b)
y
=
-
5
c)
x + y =
0
d)
1
4
3
3
2
=
+
y
x
e)
3
x
-
2
y
+ 1 = 0
f)
1
3
2
=
+
y
x
g)
x
=
-
3
x
0
y
0
x
x
1
y
y
1
Curso de Apoyo en Matemática
Página
64
12)
Dar la expresión en forma explícita de las rectas grafic
adas a continuación, luego ind
i
car en qué
casos se trata de un función de proporcionalidad directa:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
13)
Hallar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas:
a)
3
x
-
y
+ 2 = 0
b)
1
2
-
2
=
y
x
c) 2
y
-
3 = 0
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
65
14)
Hallar la ecuación de la recta que corta al eje
x
en el punto de abscisa 3 y forma con él un
á
n
gulo de 60º.
15)
Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto
ind
i
c
a
do:
a)
4
x
+
3
y
-
k = 0 A ( 1 ,
-
2 )
b)
-
k
x
+
2
y
-
1 = 0 B ( 3 , 0 )
16)
¿Cuánto debe valer un número real k para que el punto (
-
1 , 2) se encuentre en la recta k
x
+
7
y
-
7 = 0 ?. Graficar.
17)
Escribir la ecu
ación de la recta que pasa por los puntos:
a)
(
-
2 ,
-
1) y
(
-
4 ,
-
3)
b) (3 , 5) y
(7 ,
-
2)
c) (6 ,
-
1)
y
(
-
2 , 4)
d) (1 ,
-
5)
y
(10 , 11)
18)
Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada al origen son respectivamente 5 y
-
1.
Graf
i
car.
19)
Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 ,
-
1) y (
-
1 , 5) están alineados
.
20)
a)
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (
-
1 ,
-
2).
b)
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente
2
1
y pas
a por el punto P (
-
4 , 7).
c)
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente
4
1
y pasa por el punto P
(
3
1
,
5
3
)
.
21)
Una recta que pasa por P(3 ,
-
2) , forma un ángulo de 60º con el semieje po
sitivo del eje
x
.
E
n
co
n
trar
su ecuación y graficar.
22)
a)
Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que
y
= 3
x
+ 2
b)
¿Cuáles son paralelas a ella?.
i. y
= 3
x
-
3
1
ii.
+
=
4
1
8
x
y
iii. y
= 3 (
x
+ 2 )
iv. y
= 7
x
+ 2
v. y
= 4
x
+ 2
vi. y
= 3
x
+ 4
Curso de Apoyo en Matemática
Página
66
23)
Un kilogramo de papas cuesta $0,65. Escribir y representar la función que define el valor de las
papas en función de los kilogramos comprados.
24)
Cada una de las siguient
es tablas corresponde a una función. Para cada una de ellas:
a)
Completar la tabla de tal forma que la función represente una función de proporcionalidad
dir
e
cta.
b)
Escribir una fórmula que relacione los elementos de la primera fila con los de la s
e
gunda.
c)
Repre
sentar los datos de la tabla en un sistema de coordenadas cartesianas.
Tiempo de marcha (en horas)
1
2
3
Espacio recorrido (en km.)
80
400
800
50
Capital invertido (en pesos)
1000
500
250
Interés percibido (en pesos)
100
12.5
75
Masa del al
uminio (en gramos)
2,7
13,5
Volumen del aluminio (en cm
3
)
1
2
3
25)
El estudio de cierta tabla permite establecer que:
f
(3) = 7
f
(8) = 16,2
f
(11) = 26
¿Representa dicha tabla una función de proporcional
idad directa
?
. Justificar.
26)
La siguiente tabla representa la relación existente entre el valor de los lados y el per
í
metro de
tres cuadrados:
Lado (
l
)
Perímetro (
p
)
1
4
2
8
3
12
Responder:
a)
¿Se trata de una función de proporcionalidad directa
?
.
b)
¿Cu
ánto vale la constante de proporcionalidad
?
.
c)
Expresar la función mediante una fórmula y representar gráficamente.
27)
Para distintos trozos de un mismo material, el peso es directamente proporcional al volumen.
a)
Completar los cuadros y las fórmulas para cada
uno de los materiales indicados.
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
67
Madera de pino:
Corcho sintético:
Granito:
Volumen
(en dm
3
)
1
5
10
20
Volumen
(en dm
3
)
1
5
10
20
Volumen
(en dm
3
)
5
10
Peso
(en kg.)
9
Peso
(en kg.)
Peso
(en kg.)
60
30
3
P = ........ . V
P =
0,2.V
P = ....... .
V
b)
Representar en un mismo gráfico las tres situaciones.
c)
Observar en la gráfica:
i.
¿Qué pesa más?; ¿3,5 decímetros cúbicos de madera o 3,5 decímetros cúbicos de granito
?
.
ii.
Si se tienen 7 kg. de corcho sintético y 7 kg. de madera, ¿c
uál es el material que más volumen
tiene
?
.
d) Si se dispone de un recipiente cuya capacidad es de 6 decímetros cúbicos, ¿4 kg. de qué material
(corcho
-
madera
-
granito) molido, puede guardar en dicho recipiente
?
.
En cada caso la constante de proporcional
idad representa la densidad del material (peso por unidad
de volumen); gráficamente, la misma, es la pendiente de la recta.
28)
Una empresa de transportes establece sus tarifas de este modo: $ 0,10 por km rec
o
rrido y $ 5
por paquete o maleta. ¿Cuánto costará
trasladarse con una maleta a 100 km
?
. ¿Y a 200 km
?
.
a)
Completar la siguiente tabla considerando que se lleva una maleta:
Distancia
(en km.)
100
150
200
250
300
Precio
(en pesos)
b)
Expresar por fórmula la función que relaciona número de km y precio del
traslado.
c)
Analizar la misma situación pero trasladándose con dos maletas.
d)
Representar en un mismo gráfico las dos situaciones (viajar con una maleta
-
viajar con dos
mal
e
tas). Interpretar.
e)
Proponer cómo viajar de tal forma que la función que relacione núm
ero de km. y precio del
trasl
a
do sea de proporcionalidad.
Incluir en la gráfica anterior su representación e indicar su fórmula.
Otras
empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas :
Precio por
km
Precio por
maleta
Ecuación sin
maletas
Ecuac
ión con una
maleta
Empresa A
0,15
2,5
y
= 0,15
x
y
= 0,15
x
+ 2,5
Empresa B
0,06
7
Representar gráficamente; decidir qué empresa contratar para gastar lo menos posible.
Curso de Apoyo en Matemática
Página
68
4.3.
Sistemas de ecuaciones lineales
En esta sección analizaremos los sistemas de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, y sus
sol
u
ci
o
nes, en forma algebraica y geométrica.
La ecuación
tiene entre otras las siguientes
sol
u
ciones:
x
= 0 ,
y
=
3
8
x
= 1 ,
y
=
3
10
x
=
-
1 ,
y
=
2
............
Entonces los puntos de coordenadas
(
)
;...
2
,
1
;
3
10
,
1
;
3
8
,
0
pertenecen a la recta dada.
Hemos visto en la unidad anterior, que una ecuación lineal con
dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pues esa ecuación se
verifica para inf
i
nitas parejas de números.
Es decir, la resolución alg
e
braica de
un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas equivale
geom
é
tricamente a estudiar las
posiciones rel
a
tivas de las dos rectas
en el plano.
Un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas es
repr
e
sentado geométricamente por dos rectas.
Resolverlo equivale a hallar los puntos del plano comunes a las
dos rectas.
Ejemplos:
Gráficamente, vemos que las dos
rectas se cortan en un único
punto
P
de
coordenadas ( 1 , 2 )
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
a)
=
=
+
0
2
3
8
0
5
3
y
x
y
x
Resolvemos aplicando el método de sustitución:
De la ecuación
3
x
+
y
5 = 0
se tiene que
y
=
-
3
x
+ 5
sustituyendo
y
en la ecuación
8
x
-
3
y
-
2 = 0
se obtiene
8
x
-
3 (
-
3
x
+ 5 )
-
2 = 0
despej
ando
x
, resulta
x
= 1
Reemplazando el valor de
x
obtenido, en cualquiera de las
ecu
a
ciones del sistema, resulta
y
= 2.
En este caso diremos que
las re
c
tas son
secantes
.
El sistema tiene una
única solución
x
= 1 ,
y
= 2
3
8
3
2
+
=
x
y
3
x
+
y
5 = 0
8
x
3
y
2 = 0
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
69
Observemos que...
en
el sistema
=
=
+
0
2
3
8
0
5
3
y
x
y
x
no
hay ninguna relación de proporcionalidad entre
los coef
i
cientes de los términos lineales.
Gráficamente, vemos que las
rectas no tienen ningún punto
en c
o
mún.
-2
2
4
6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
b)
=
=
0
7
2
0
3
2
4
y
x
y
x
Resolvemos
aplicando el método de sustitución:
De la ecuación
2
x
-
y
-
7 = 0
se tiene que
y
= 2
x
-
7;
sustituyendo
y
en la ecuación
4
x
-
2
y
-
3 = 0,
se obtiene
4
x
-
2 . ( 2
x
-
7 )
-
3 = 0,
resolviendo resulta
0
x
=
-
11.
Observemos que...
no existe
ningún número real
x
que multipl
i
cado por 0 de
-
11.
En este caso diremos que
las re
c
tas son
paralelas no coincide
n
tes
..
En consecuencia, el sistema
no tiene solución
, pues no existen
valores reales de
x
e
y
que verifiquen simultáneamente ambas
ecua
ciones.
Observemos que...
en el sistema
=
=
0
7
2
0
3
2
4
y
x
y
x
existe una relación de proporcionalidad entre los coeficientes
de los términos lineales, pero que dicha relación
no
se
conse
r
va entre los términos independientes.
2
5
3
1
8
3
7
3
1
2
2
4
=
4
x
2
y
3 = 0
2
x
y
7 = 0
Curso de Apoyo en Matemática
Página
70
-2
2
4
6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
c)
=
=
0
7
2
0
14
2
4
y
x
y
x
Resolvemos aplicando el método de sustitución:
De la ecuación
2
x
-
y
-
7 = 0
se tiene que
y
= 2
x
-
7;
sustituyendo
y
en la ecuación
4
x
-
2
y
-
14 = 0,
se obtiene
4
x
-
2 . ( 2
x
-
7 )
-
14 = 0,
resolviendo resulta
0
x
= 0
Observ
emos que...
cualquier número real
x
multiplicado por 0 da 0.
Es decir, existen infinitos valores de
x
e
y
que verifican ambas ecuaci
o
nes.
La representación gráfica del
si
s
tema son dos rectas
paralelas coincidentes
.
En el sistema las dos ecuacion
es son
proporcionales
, pues la
primera ecuación es el doble de la segunda, por lo que el
si
s
tema se reduce a un sola ecuación y, tiene por lo tanto
infinitas
soluciones.
Observemos que...
en el sistema
=
=
0
7
2
0
14
2
4
y
x
y
x
existe una relación d
e proporcionalidad entre los coeficientes
de los términos lineales y los términos independientes.
Podemos
conocer la posición de dos rectas
r
y
s
(cuyas ecuaciones están dadas en forma
explíc
i
ta o en forma implícita), sin necesidad de resolver el
sistema que forman, teniendo en cuenta
el s
i
guiente cuadro:
Forma explícita
Forma implícita
r
:
y
=
mx
+
n
s
:
y
=
m’x
+
n’
r
:
ax
+
by
+
c
= 0
s
:
a’x
+
b’y
+
c’
= 0
r
y
s
secantes
m
m’
'
'
b
b
a
a
r
y
s
paralelas
no coincidentes
m
=
m’ ; n
n’
'
'
'
c
c
b
b
a
a
=
,
c
0 ,
c
0
r
y
s
paralelas
coincidentes
m = m’ ; n
=
n’
'
'
'
c
c
b
b
a
a
=
=
,
c
0 ,
c
0
7
14
1
2
2
4
=
=
4
x
2
y
14 = 0
2
x
y
7 = 0
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
71
A
CTIVIDADES DE
A
PRENDIZAJE
29)
La recta 3
x
+ n
y
-
7 = 0 pasa por el punto A(3 , 2) y es paralela a la recta m
x
+ 2
y
= 13.
Calcular m y n.
30)
Determinar el valor de
a
para que las rectas
r
y
s
sean paralelas, siendo
r
:
x
+ 3
y
= 6 y
s
:
a
x
-
y
= 5.
31)
La recta 2
x
-
a
y
= 7
pasa por el punto A(2 , 1) y es paralela a la recta b
x
-
y
+ 2 = 0.
Calc
u
lar a y b.
32)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(
-
3 , 1) y es paralela a la recta
determ
i
nada por los puntos P
1
(0 ,
-
2) y P
2
(5 , 2).
33)
La recta
y +
2 =
m
(
x
+ 3) pasa por el punto de intersección de las rectas 2
x
+ 3
y
+ 5 = 0
y 5
x
-
2
y
-
16 = 0 . Calcular m.
34)
Hallar la ecuación de la recta de pendiente
-
4 y que pasa por el punto de interse
c
ción de las
rectas:
y
=
-
2
x
+
8 e
y
=
2
3
x
+
2
9
.
35)
Expresar los sistemas de dos ecuaciones lineales que se pueden determinar con las siguientes
gráf
i
cas, luego indicar la solución de los mismos.
a)
b)
36)
Hallar los valores de
a
para que (4000 , 3000) sea la solución del sistema:
+
=
=
500
75
,
0
ax
y
x
y
Curso de Apoyo en Matemática
Página
72
37)
Dado el sistema
=
+
=
0
4
2
2
3
6
y
q
x
y
px
indicar los valores de
p
y
q
para que el sist
e
ma tenga:
a)
única solución.
b)
ninguna solución.
c)
infinitas soluciones
38)
a
) Agregar al sistema una ecuación para que la solución sea
x
= 2 ;
y
=
-
3
+
=
.........
..........
1
2
x
y
b) La ecuación agregada en el inciso anterior ¿es la única que cumple con la condición pedida?.
Justif
i
car.
39)
Dadas las siguientes ecuacio
nes de rectas:
+
=
=
b
ax
y
y
x
0
4
2
. Decir para qué valores de
a
y de
b
las rectas tienen:
b)
un punto en común,
b) ningún punto en común,
c) todos sus puntos en común.
40)
Un ciclista que circula por una senda rectilínea a una velocidad constante
de 4 m/s, pasa, en un
cierto momento, por un puesto de control. Otro ciclista que circula por la misma senda, pero en
se
n
tido contrario, a una velocidad constante de 3m/s, pasa por el mismo puesto 20 segundos
después.
a)
Hallar las ecuaciones de los movimie
ntos de ambos ciclistas.
b)
Determinar el instante en que se encuentran y a qué distancia del puesto lo hacen.
c)
Verificar gráficamente los resultados obtenidos.
41)
Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto. Por otra
pa
r
te
, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad. ¿Cuántas unidades es
necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total, y cuál es ese v
a
lor?.
42)
Hace cinco años, la población de una pequeña comunidad indígena e
ra de 500 personas. C
o
mo
consecuencia de su integración con otras comunidades, la población ascendió a 4000 personas.
S
u
p
o
niendo que la población crece en forma lineal:
a)
expresar mediante una fórmula la cantidad de habitantes en función del tiempo;
b)
indicar
aproximadamente cuándo llegará la población a 10000 habitantes;
c)
realizar un gráfico cartesiano de la situación.
Función Lineal y Ecuación de la Recta
Página
73
4.4.
Rectas perpendiculares
Existe una relación importante que permite hallar la pendiente
m’
de una recta conociendo la
pe
n
diente
m
de otra rec
ta perpendicular a ella.
-2
2
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Ejemplo
:
En la gráfica se observa que las rectas
y
= 3
x
-
1 e
y
=
-
3
1
x
+ 3
son perpendiculares.
Las pendientes de dichas rectas son:
m
= 3 y
m
’ =
-
3
1
.
Rectas
Rectas
perpendiculares
perpendiculares
Diremos que dos rectas de pendientes
m
y
m
’ que
verif
i
quen la relación
m
’ =
-
m
1
, son rectas
perpendiculares.
A
CTIVIDADES DE
A
PRENDIZAJE
43)
Dada la recta
y
=
5
1
x
+ 3 , hal
lar las funciones cuyas representaciones son las re
c
tas:
a)
paralela a la misma y de ordenada al origen igual a la de la recta 2
x
+
y
= 8.
b)
perpendicular a la misma y de ordenada al origen
-
2.
c)
paralela a la misma y que pase por el punto Q (1, ½ ).
d)
per
pendicular a la misma y que pase por el origen.
e)
perpendicular a la misma y de proporcionalidad.
44)
Las rectas de ecuaciones a
x
-
y
= 4 ;
x
+ b =
y
son perpendiculares y cortan al eje de las
ab
s
cisas en dos puntos distantes cinco unidades. Hallar
a y b.
45)
Dada la recta de ecuación a
x
+ b
y
= 1, determinar a y b sabiendo que la recta dada es
pe
r
pend
i
cular a la recta de ecuación 2
x
+ 4
y
= 11 y que pasa por el punto P
(
1 ,
2
3
)
.
y
= 3
x
-
1
y
=
-
1/3
x
+ 3
-
1
Curso de Apoyo en Matemática
Página
74
4.5. Función valor absoluto
Ya hemos visto en la primera unidad cómo calcular el valor absoluto de un número real. Como
cada número real posee un solo valor absoluto, podemos pensar esta relación como una función.
Para graficar la función valor absoluto haremos uso de las rectas que
hemos estado estudiando hasta
ahora.
Gráficamente.
-3
-2
-1
1
2
3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Si consideramos la función donde a cada número real le
c
o
rresponde su valor absoluto, es decir
f
(2) = 2,
f
(
-
2) = 2,
f
(0) = 0 ,
etc.
observamos que los puntos que determinan su gráfica son
ÿ
puntos que pertenecen a la recta
y
=
x
para los
x
0 y
ÿ
puntos que pertenecen a la recta
y
=
-
x
para los
x
< 0.
Función Valor
Función Valor
Absol
Absol
u
u
to
to
Definimos la
función valor absoluto
mediante la fórmula:
f
(
x
) =
x
=
<
0
0
x
si
x
x
si
x
Para pensar...
El dominio de esta función es
R
. ¿Cuál es el conjunto imagen?